(Без титульного листа)

Домашнее задание №2

Выполнил: Иванов И.И.

гр. 512

Имеется поток частиц массы m, которые движутся с одинаковой скоростью v параллельно некоторой оси ОA. За плоскостью Р, перпендикулярной к оси, частицы попадают в область, где на них действует сила, направленная к оси ОA и пропорциональная расстоянию до этой оси: . Найти наименьшее расстояние l от плоскости Р до точки на оси ОА, которую будут пересекать все частицы.

Дано:

Найти:

l

Решение:

Как следует из второго закона Ньютона, для каждой частицы

По условию , отсюда в проекциях на направление r :

Решением этого уравнения колебаний частицы является

где

Начальную фазу определим из граничных условий:

, т.е.

Амплитуда колебаний для каждой частицы- своя.

Время , через которое произвольная частица пересечет ось ОА, определим из условия:

. Для всех частиц, летящих не по оси ОА, , значит , отсюда

За время каждая частица сместится вдоль оси ОА на

Ответ.

Найти время, за которое амплитуда колебаний в контуре с добротностью Q уменьшится в раз, если частота колебаний .

Дано:

Q,,.

Найти:

t.

Решение:

Уравнение затухающих электрических колебаний в последовательном контуре

. Его решение , где

Логарифмический декремент .

Добротность контура

Отношение амплитуд отсюда

Из формул (1) и (2)

С учётом последнего выражения .

Ответ: .

4.50.

Горизонтальный однородный диск массы m и радиуса R укреплён на конце тонкого стержня АО. При повороте диска на угол фи вокруг оси АО на него действует момент упругих сил N_z=-kj, где k-const, найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол из положения равновесия, и сообщили ему угловую скорость.

Дано:

m, R, N_z=-kj, где k=const, .

Найти:

j_m, Е.

Решение:

Закон изменения момента импульса .

Уравнение динамики твёрдого тела .

Момент инерции однородного диска .

Из (1) с учётом (2), (3) получим: .

, где

Решение этого уравнения колебаний

Из граничных условий

Кинетическая энергия вращающегося тела

Её максимальное значение (при j=0) равно полной энергии системы

Полная энергия

Ответ: ;
5.84.

Найти минимальную толщину плёнки с показателем преломления n=1,33, при которой свет с длинной волны l₁=0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длинной l₂=0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света q₁=30⁰.

Дано:

n, l₁, l₂, q₁.

Найти:

b.

Теоретическое обоснование:

Как видно из рисунка оптическая разность хода .

Из тригонометрических соображений

Из закона преломления

Из (1) с учётом (2), (3), (4)

Т.к. показатель преломления плёнки больше показателя преломления воздуха, на границе раздела сред происходит «потеря полуволны»:

Условие максимума и минимума интерференции соответственно

Поэтому с учётом выражения (5) условие максимума и минимума интерференции отражённого света соответственно

Решение:

Для отражённого света:

Условие максимума интерференции

Условие минимума интерференции

k, m - целые.

Из условия максимума видно, что наименьшее значение b соответствует наименьшим k, m, удовлетворяющих (*). Т.е. k=2, m=4. Из формулы (1).

Ответ:

5.92.

На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса r₀, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R. Найти радиус k-го светлого кольца при наблюдении в отражённом свете с длинной волны l.

Дано:

r₀, k, l..

Найти:

r_k.

Решение:

k-му светлому кольцу соответствует максимум интенсивности т.е. оптическая разность хода отражённых интерферирующих волн .

Как видно из рисунка, . (Здесь учтена потеря полуволны на границе воздух-стекло).

Из формул (1), (2) .

Из геометрических соображений (см. рис.)

Т.к. , ими можно пренебречь

Подставим в выражение (4) (3)

Ответ: .

4.143

Цепь из последовательно соединённых конденсатора ёмкости С, сопротивления R и катушки с индуктивностью L и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения:

а) на конденсаторе;

б) на катушке.

Дано:

R, L, C, w.

Найти:

w₁, w₂.

Решение:

Амплитудные значения тока и напряжения связаны между собой , где

А)

Наибольшее значение амплитуды напряжения на конденсаторе соответствует наименьшему значению функции

Найдём это значение.

Решая последнее уравнение, найдём

(Здесь и далее w₀ - собственная частота колебаний контура, b - коэффициент затухания.)

Таким образом, функция k(w) имеет в точке w₁ минимум. Эта функция непрерывна, поэтому минимуму соответствует наименьшее значение функции k(w) и, следовательно, наибольшее значение амплитуды напряжения на конденсаторе.

Б)

Наибольшее значение амплитуды напряжения на катушке соответствует наименьшему значению функции

Найдём это значение.

Это равенство выполняется при частоте генератора

Можно показать, что

Таким образом, функция k(w) имеет в точке w₁ минимум. Эта функция непрерывна, поэтому минимуму соответствует наименьшее значение функции k(w) и, следовательно, наибольшее значение амплитуды напряжения на катушке.

Ответ: А) ;

Б) .

5.170.

Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор. Вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью w. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке Ф₀.

Дано:

w, Ф₀

Найти:

W(T)

Решение:

В общем случае поток энергии определяется, как .

В условиях данной задачи интенсивность не зависит от координат, поэтому , где S - площадь щели поляризатора.

Согласно закону Малюса .

Угол j между плоскостью колебаний падающего поляризованного света и плоскостью поляризатора определяется .

С учётом (2), (3), (1а) из (1) следует:

Из определения потока энергии - энергия за период обращения Т.

.

Ответ: .

5.296.

Электромагнитное излучение с длинной волны с l падает на фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Соответствующая спектральная чувствительность фотоэлемента J. Найти выход фотоэлектронов, т.е. число фотоэлектронов на каждый падающий фотон.

Дано:

l, J

Найти:

h

Решение:

Как следует из законов фотоэффекта .

- фототок насыщения, n_e - число электронов.

Р-световая мощность, Þ

PJ=I; , т.к. J=const Þ

, с учётом

Ответ: .

4.96.

Некоторая резонансная кривая соответствует механической колебательной системе с логарифмическим декрементом затухания l Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.

Дано:

l

Найти:

h

Решение:

Резонансная кривая - график отношения амплитуды смещения при данной частоте к максимальной амплитуде смещения. Искомую величину можно найти или непосредственно из графика, или аналитически.

Уравнение вынужденных колебаний имеет установившееся решение , где амплитуда определяется .

При частоте генератора w®0 из (1) получим

Исследуя функцию (1) с помощью производной, можно показать, что она имеет наибольшее значение при и это значение равно .

Отношение амплитуд .

Из определения логарифмического декремента , где .

После подстановки (4) в (3) получим .

Подставив (5) в (2) и преобразовав выражение, окончательно получим .

Ответ: .

5.255.

Получить с помощью формулы Планка приближенное выражение для объёмной спектральной плотности излучения u_w:

а) в области, где (формула Рэлея-Джинса)

б) в области, где (формула Вина)

Дано:

а)

б)

Найти:

u₀, u_¥

Решение:

а) - формула Рэлея-Джинса.

б) - формула Вина.

Ответ: а)

б)

5.236.

Узкий пучок рентгеновского излучения с длинной волны l проходит через алюминиевый экран толщины d₁. Какой толщины надо взять свинцовый экран, чтобы он ослаблял данный пучок в такой же степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно k₁ и k₂.

Дано:

l=6,2×10^-8 м, d₁=2,6 см,

, ,

, .

Найти:

d₂

Решение:

Ослабление света происходит за счёт поглощения и рассеяния.

Поглощение света определяется законом Бургера .

Рассеивание пучка характеризуется коэффициентом экстинкции c^/, поэтому

, где m=c+c^/ - линейный показатель ослабления.

С учётом определения массового показателя ослабления и условия задачи, запишем

Отсюда

Ответ: 0,03 см.

5.45.

Галилеева труба 10-кратного увеличения при установки на бесконечность имеет длину 45 см. Определить:

а) фокусное расстояние объектива и окуляра трубы;

б) на какое расстояние надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м.

Дано:

Г=10, l=0,45 м.

Найти:

f_ок , f_об .

Решение:

а) При установке зрительной трубы на бесконечность задние фокусы окуляра и объектива должны совпадать. Как видно из рисунка, . По определению увеличение оптического прибора .

Длина трубы Галилея равна расстоянию между объективом и окуляром .

Объединив (1), (2), (3) в систему и решив её, получим

В численном виде

б) Чёткое изображение в окуляре получается при условии, что изображение от объектива лежит в фокальной плоскости окуляра. Расстояние между изображением A^/B^/ и объективом определяется формулой тонкой линзы

Таким образом окуляр нужно удалить от объектива на .

В численном виде:

Ответ: а)

б) x=0,005м.